대수함수와 초월함수: 다양한 함수와 성질

지난 시간에는 다항함수에 대하여 알아보았습니다. 다항함수는 x를 변수로 가지는 다항식의 함수 형태를 말합니다. 0이 아닌 최고차항의 차수에 따라 다항함수의 차수는 결정됩니다. 최고차항이 짝수인 다항함수의 치역이 공역(실수 전체의 집합)의 진부분집합이라는 부분만 주의한다면 특별히 제한되는 조건이 없는데요. 이번에 살펴볼 대수함수와 초월함수에는 함수의 형태에 따라 제한되는 조건이 있을 수 있습니다.

 

다항함수는 대수함수의 일종인데요. 대수함수에는 다항함수와 유리함수, 무리함수가 있습니다. 먼저 유리함수에 대하여 알아보도록 하겠습니다. 유리함수를 살펴보기에 앞서 유리식이 뭔지에 대해서 알아볼 필요가 있는데요. 유리식은 다항식의 비로 이루어진 식을 말합니다. P(x)와 Q(x)라는 다항식이 있다고 하면 x를 변수로 가지는 유리식은 P(x)/Q(x)의 형태를 가집니다. 유리함수는 y = P(x)/Q(x) 같은 형태가 되겠지요. 모든 다항함수는 Q(x)가 1인 유리함수의 특수한 케이스입니다.

 

유리함수에서 조심해야 하는 조건은 무엇일까요? 바로 Q(x)가 0이 될 수 없다는 것인데요. 때문에 Q(x)를 0으로 만드는 x값은 정의역에 포함되지 않습니다. 고등학교 과정에서는 인수분해로 유리함수의 Q(x)에 들어가는 다항식을 분해하여 Q(x)를 0으로 만드는 값을 찾아내기도 합니다. 

 

무리함수는 √ 안에 다항식이 들어 있는 함수를 말합니다. P(x)가 다항식이라 할 때 무리함수는 y = √P(x) 같은 형태를 취하게 되겠지요. 무리함수의 특징은 √ 안에 들어 있는 값이 음수가 되지 않아야 한다는 것인데요. √a란 제곱해서 a가 되어야 하는데 실수 범위에서는 제곱해서 음수가 되는 값이 없기 때문입니다. 따라서 P(x)<0인 x는 정의역에서 제외됩니다.

 

대수함수와 반대되는 개념이 초월함수인데요. 초월함수는 다항식의 근으로 정의할 수 없는 함수를 말합니다. 고등학교 과정에서 자주 보는 초월함수로는 로그함수와 지수함수, 삼각함수 등이 있습니다. 지수함수는 지수 부분에 x값이 들어가는 함수를 말하는데요. y = a^x (a>0, a≠1) 같은 형태를 말합니다. 지수함수는 치역이 양의 실수 전체의 집합입니다. 정의역은 실수 전체 집합이구요.

 

로그함수는 지수함수의 역함수입니다. y = log_(a)x (a>0, a≠1)와 같은 형태를 지니는데요. 역함수는 x와 y값을 뒤집는 것이기 때문에 정의역이 양의 실수 전체의 집합, 치역이 실수 전체의 집합이 됩니다. 지수와 로그, 삼감함수 등의 개념은 설명할 부분이 많으므로 추후에 다시 알아보도록 하겠습니다.