방정식, 함수와는 어떻게 다른가?

오랜만에 글을 쓰네요. 이번 시간에는 방정식에 대하여 알아보려고 합니다. 초중고 과정을 거치면서 방정식을 접할 일이 참 많을텐데요. 방정식은 변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식을 말합니다. 반면 항등식은 항상 참이 되는 식을 말합니다. 이는 예시를 통하여 살펴보는 것이 가장 빠를텐데요.

 

항등식의 예는 다음과 같습니다. x + 2x = 3x 같은 식을 항등식이라 할 수 있겠습니다. x에 어떠한 값을 대입하더라도 이 식은 항상 참이 되는 식이지요. 반면 방정식은 변수의 값에 따라 참이 될 수도 거짓이 될 수도 있는데요. 5x + 1 = 3 같은 식이 바로 방정식입니다. x = 2/5일 때만 참이 되는 식이지요.

 

5x + 1 = 3처럼 미지수가 1개인 방정식을 1원방정식이라 합니다. 그러면 모든 1원방정식을 해를 가지게 될까요? 정답은 아닙니다. 예를 들어 x^2 = -1이라는 방정식이 있다고 합니다. 여기서 x의 범위를 실수 전체로 정의하게 된다면 이 방정식을 해를 가질 수 없게 됩니다. 이처럼 1원 방정식이라도 해를 가지지 못하는 경우가 발생할 수 있지요.

 

x^2 = -1 {x|x는 실수}처럼 해가 없는 경우를 불능이라고 합니다. 반대로 2x + x = 3x처럼 어떠한 x에 대해서도 성립하는 경우는 부정이라 합니다. 어떠한 x에 대해서도 성립한다는 것은 해가 무수히 많다는 의미도 되지요.

 

이처럼 1원방정식이라도 해가 없거나 또는 해가 무수히 많은 경우가 발생할 수 있습니다. 그리고 방정식이 해를 가지느냐를 판단하려면 여러 수학적 성질에 대한 이해도 필요하겠습니다. x^2 = -1과 같은 경우도 '실수의 제곱은 음수가 될 수 없다'는 성질을 알고 있다면 쉽게 판단할 수 있겠지요.

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그렇다면 함수와 방정식의 관련성은 무엇일까요? 앞 시간에 함수는 y = 3x - 1처럼 독립변수 x 값에 따라 종속변수 y가 결정되는 성질을 가지고 있습니다. 일반적으로 방정식은 우변의 변수나 상수를 좌변으로 이항하여 0만 남겨놓는 형태로 정리하는데요. 예를 들어 3x - 1 = 0과 같은 형태를 가지고 있습니다.

 

이게 함수와 어떤 상관일까요?  방정식은 y = 0이 되는 특수한 케이스라 할 수 있겠습니다. 함수에서 y = 0이 되는 점은 바로 x 축과 만나는 점이 될텐데요. 예를 들어 y = 3x - 1일 때 y = 0이 되는 점의 좌표는 (1/3, 0)입니다. 여기서의 x좌표값은 3x - 1 = 0의 해인 1/3과 같습니다. 방정식의 해는 함수의 그래프가 x축과 만나는 점을 말하는 것이지요.

 

다항함수의 일반형은 f(x) = a0 + a1x + ... + anx^n입니다. 1원 n차 방정식의 일반형은 0 = a0 + a1x + ... + anx^n입니다. 그러니 방정식은 함수의 y값이 0이 되는 특수한 케이스이고 함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 갯수가 방정식의 해의 갯수가 되겠습니다.