여러가지 함수들: 고등학교 과정에서 다루는 함수에 대하여

지난 시간에는 함수의 정의에 대하여 살펴보았는데요. 함수는 관계의 부분집합으로 정의역의 임의의 값 x가 유일한 y값을 가진다는 성질을 가지고 있음을 알아보았습니다. 그리고 이와 함께 정의역과 공역, 치역이 무엇인지에 대해서도 알아보았는데요. 일반적으로 치역은 공역의 부분집합이고 치역과 공역이 일치하는 함수를 전사함수라 합니다.

 

이번 시간에는 여러 함수에 대하여 알아볼텐데요. 고등학교 교과과정에는 여러 수학적 특성을 가진 다양한 함수가 존재합니다. 영어를 독해하려면 영문법과 영어 단어를 알아야 하듯 수학 문제를 해석하려면 여러 사전 지식이 필요합니다. 수학은 간단한 기호와 축약으로 많은 의미를 짧게 표현하는 특성을 가지고 있기 때문입니다. 그러니 수학의 큰 축이 되는 함수에 대해서도 잘 알 필요가 있겠습니다.

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가장 대표적이고 단순한 함수로는 다항함수가 있겠습니다. 다항함수는 다항식으로 이루어진 함수를 말하는데요. 그렇다면 다항식이 무엇인지부터 알아봐야 하겠습니다. 다항식은 1개 이상의 단항식을 대수의 합으로 연결한 식을 말합니다. 여기서 단항식은 수 및 문자의 곱으로 이루어진 식입니다. 4xy^2 같은 것이 단항식이라 할 수 있겠습니다. 3이나 x와 같은 한 숫자와 한 문자로 이루어진 식도 단항식입니다.

 

다항식은 이러한 단항식을 덧셈 또는 뺄셈 같은 연산법칙으로 연결한 식을 말합니다. 4xy^2 + 3 - x 같은 것을 우리는 다항식이라 부를 수 있겠지요. 예시로 든 다항식에는 x와 y라는 미지수가 등장하는데요. 3x^3 + 2x - 5처럼 오로지 x만을 미지수로 가지는 다항식을 x를 변수로 하는 다항식이라 합니다. 그리고 최고차수항이 n차일 때 그 다항식을 n차 다항식으라 합니다. 3x^3 + 2x - 5의 경우 3차 다항식이 되겠네요. 일반형으로 x를 변수로 하는 다항식을 쓰면 다음과 같습니다. anx^n + a_(n-1)x^(n-1)+ ... + a_1x + a_0

 

그렇다면 다항함수는 무엇일까요? 다항식의 변수 x에 의하여 결정되는 y가 있는 함수를 다항함수라 합니다. 함수의 정의대로 정의역의 임의의 값 x에 따라 유일한 y값이 결정되는 다항식이 다항함수인 셈이죠.

 

y=f(x)=anx^n + a_(n-1)x^(n-1)+ ... + a_1x + a_0

 

an이 0가 아니라면 위 다항함수를 n차 다항함수라 할 수 있습니다.

 

다항함수는 몇 가지 특징이 있는데요. 예를 들어 살펴보겠습니다. y = x, y=3x^3 같은 최고차항이 홀수인 다항함수는 치역과 공역이 같은 전사함수입니다. 이 말이 무슨 뜻이냐 하면 공역과 치역 값이 같다는 이야기지요. 특별한 조건이 주어지지 않는 한 함수는 R*R(R은 실수 전체집합)에서 정의되는데요. 최고차항이 홀수인 경우 음의 값을 취할 수 있어 함수값의 집합인 치역이 실수 전체에서 정의됩니다.

 

반면, 최고차항이 짝수인 y = x^2, y = 5x^6 같은 함수는 음의 값을 가질 수 없습니다. 짝수제곱은 실수 내에서 0보다 작은 값을 가질 수 없기 때문입니다. 위에서는 간단한 예만 살펴보았는데요. 평행이동을 하더라도 최고차항이 짝수인 다항식은 치역이 공역의 진부분집합이 됩니다. 이러한 부분들에 대하여 잘 숙지하고 있어야 숨겨진 조건을 놓치지 않겠죠?