연립방정식 : 미지수가 여러 개인 방정식의 묶음

지난 시간에는 방정식의 성질에 대하여 알아보았는데요. 방정식은 미지수 갯수가 1개인 1원 방정식이더라도 미지수 갯수와 상관없이 유일한 해가 존재하거나, 해가 없거나, 해가 무수히 많을 수 있음을 예시를 통하여 살펴보았습니다. 그렇다면 미지수의 갯수가 여러개인 경우는 어떻게 될까요. 예를 들어 x + y = 1이라는 미지수가 2개인 방정식이 존재한다고 합시다. 그렇다면 x의 값에 따라 위 방정식을 참으로 만드는 y가 존재하며 해가 되는 x, y는 무수히 많이 존재하게 되는데요. 하지만 미지수가 2개인 방정식이 2개 존재한다면 어떻게 될까요?

 

예를 들어 x + y = 1과 2x - y = 3이라는 방정식이 두 개 주어진다면 연립방정식은 이 두 방정식을 모두 충족시키는 해를 찾는 것입니다. x + y = 1과 2x - y = 3의 좌변과 우변을 각각 더하면 3x = 4가 되는데요. 따라서 x = 4/3, y = -1/3이 됩니다. 이처럼 두 방정식을 더하거나 빼서 미지수를 제거하는 방법을 가감법이라 합니다.

 

하지만 x + y = 1과 x^2 + y^2 = 2처럼 차수가 다른 방정식이 주어진다면 가감법을 사용하기가 어려워지는데요. 이 경우에는 y = 1 - x로 첫번째 방정식을 y에 대하여 정리한 다음 이를 두 번째 방정식의 y 자리에 대입합니다. 그러면 x^2 + (1 - x)^2 = 2가 되는데요. x만 존재하는 1원 방정식이니 정리하면 해를 구할 수 있겠죠? 이처럼 한 방정식을 한 문자에 관하여 정리한 다음 다른 식에 대입하는 방법을 대입법이라 합니다.

 

연립방정식의 해를 구하는 2가지 방법에 대하여 알아보았는데요. 그렇다면 모든 연립방정식은 해를 가지는 것일까요? 답은 '아니다'입니다. 2x - y = 3, 2x - y = 5처럼 해를 가지지 않는 경우도 있고 2x - y = 3, 4x - 2y = 6처럼 해를 무수히 많이 가지는 경우도 있습니다. 1번째 연립방정식은 가감법으로 미지수를 소거할 때 0 = 2라는 결과를 도출하여 어떠한 x, y에 대해서도 등식을 가질 수 없음을 확인할 수 있습니다. 2번째 연립방정식은 가감법을 사용하였을 때 0 = 0이 도출되어 어떠한 x, y에 대해서도 등식이 성립함을 알 수 있습니다.

 

x와 y 두 개의 미지수를 가지는 2원 방정식으로 해를 가지는 경우, 해를 갖지 않는 경우, 해를 무수히 많이 가지는 경우에 대하여 알아보았는데요. 이를 함수의 관점에서 살펴보면 어떻게 될까요? 예를 들어 x + y = 1, 2x - y = 3이 있다면 이는 y에 대하여 정리하였을 때 y = 1 - x, y = 2x - 3이 됩니다. 연립방정식의 해인 x = 4/3, y = -1/3은 앞의 두 1차 함수를 모두 충족시키는 값인데요. 그 말인 즉슨 이 점이 두 함수의 그래프 상에 포함되는 점이라는 것입니다. 따라서 연립방정식의 해는 두 함수의 교점임을 알 수 있습니다. 

 

2원 연립방정식이 해가 없는 경우는 그 방정식을 변형한 두 함수가 교점이 없는 상태를 말합니다. 2원 연립방정식의 해가 무수히 많은 경우는 그 방정식을 변형한 두 함수가 무수히 많은 교점을 가지는 상태를 말합니다. 두 함수가 겹친다는 이야기가 되겠지요.