점과 도형, 함수의 평행이동에 대하여

지난 시간에는 고등학교 과정에서 다루는 함수인 대수함수와 초월함수의 종류에 대하여 살펴보았는데요. 각 함수의 세세한 성질은 지수나 로그 등을 다룰 때 상세하게 알아보도록 하겠습니다. 이번 시간에는 평행이동과 대칭이동에 대하여 살펴보려고 하는데요.

 

먼저 평행이동이란 좌표평면상의 점이나 도형, 함수를 좌표축에 따라 이동시키는 것을 말합니다. 데카르트 좌표평면(xy 좌표평면)상의 평행이동은 x축에 대한 평행이동, y축에 대한 평행이동이 있습니다. 가장 이해하기 쉬운 점의 평행이동부터 알아보겠습니다.

 

임의의 점 P(x, y)가 존재한다고 할 때, 이 점을 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동시킨다면 이동한 점 P'의 좌표는 P'(x+a, y+b)가 됩니다. 말 그대로 점의 좌표값에 각각의 축방향으로 이동량만큼 더해지게 되는 것이죠. 이 부분은 이해에 어려운 점이 없을 것이라 생각됩니다. 하지만 도형의 평행이동은 어떨까요?

 

도형의 방정식 f(x, y)=0이 주어졌을 때 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동한다면 이동한 도형의 방정식은 f(x-a, y-b)=0이 됩니다. 왜 점의 평행이동과 다르게 이동량만큼 빼지게 되는 것일까요? 증명방법은 다음과 같습니다. f(x, y)=0 위의 임의의 점 P(x, y)가 존재한다고 할 때 도형이 평행이동 한다면 점 P 또한 평행이동하여 P(x+a, y+b)가 됩니다. 이 이동한 점을 각각 x', y'라 한다면 x'=x+a, y'=y+b가 됩니다. 이를 x와 y에 대하여 정리하면 x=x'-a, y=y'-b가 됩니다. 이를 f(x, y)=0에 대입하면 f(x'-a, y'-b)=0이 됩니다. x'와 y'에는 평행이동한 이동량이 포함되어 있으므로 x', y'를 각각 x, y로 바꾸면 도형의 방정식을 이루는 각 점에서 평행이동한 조건이 반영되게 됩니다. 따라서 f(x-a, y-b)=0이 되면 f(x, y)=0을 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 식이 됩니다.

 

함수의 평행이동 또한 원리는 같은데요. 증명방법은 다음과 같습니다. y=f(x)라는 함수가 존재한다고 할 때, 함수 위의 임의의 점 P(x, y)가 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동 한다면 P(x+a, y+b)가 됩니다. 여기서 x'=x+a, y'=y+b라고 한다면 x=x'-a, y=y'-b가 됩니다. 이를 원래의 함수에 대입하면 y'-b=f(x'-a)입니다. x'와 y'를 각각 x와 y로 바꾸어 주면 y-b=f(x-a)가 됩니다. 여기까지는 도형의 방정식과 같은데요. 함수는 좌변에 y만을 남기므로 -b를 이항하면 y=f(x-a)+b입니다.