집합의 이해: 집합 예시를 통하여 살펴보는 집합의 정의

집합은 수학의 기본이 되는 개념이라 할 수 있겠습니다. 집합의 정의는 어떠한 조건에 따라 결정되는 요소의 모임인데요. 그 요소를 집합의 원소라 합니다. 집합은 몇 가지 특징이 있습니다.

 

첫번째는 집합의 원소를 제약하는 조건이 누가 보더라도 똑같은 원소를 생각하게 해야 한다는 점인데요. 예를 들어 '키가 큰 사람들의 모임' 같은 것은 집합이 될 수 없습니다. 보는 사람마다 서로 다른 것을 생각하게 되기 때문입니다. 하지만 '5보다 작은 자연수의 모임' 같은 조건은 어떨까요? 누구라도 {1, 2, 3, 4}라는 집합을 떠올릴 수 있을 것입니다. 자연수의 체계나 '~보다 작은'이라는 수학적 표현은 이미 약속되어 있는 것이기 때문입니다.

 

두번째는 겹치는 원소가 없어야 한다는 점인데요. 예를 들어 {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4} 같은 집합은 존재할 수 없습니다. 이 집합은 {1, 2, 3, 4}가 되어야 합니다. 집합에 속하는 원소는 유일해야 하기 때문입니다.

 

따라서 집합은 다음과 같은 것이라고 할 수 있습니다. ① 집합은 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지 들어 있지 않은지를 식별할 수 있어야 합니다. ② 집합은 두 원소를 취하였을 때 그 원소들이 서로 같은지 같지 않은지를 식별할 수 있어야 합니다. 이 두 가지 조건을 모두 충족하는 경우를 집합이라 합니다.

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앞에서 살펴본 집합의 정의를 예제를 통하여 살펴보겠습니다. 다음 중 집합인 것은 무엇일까요?

 

① 키 큰 사람들의 모임

② 큰 자연수의 모임

③ 1보다 작은 자연수의 모임

④ XX고등학교 3학년 1반의 모임

⑤ 4보다 큰 자연수의 모임

 

어떤 것이 집합인지 잘 생각해보셨나요? 정답은 3, 4, 5번입니다. 3번은 아리송하게 생각하실 수 있을텐데요. 1보다 작은 자연수는 존재하지 않기 때문입니다. 그래서 이를 집합이라 할 수 있나라는 생각을 하실 수 있는데 이처럼 원소가 없는 집합을 공집합이라 합니다. 기호로는 ø 또는 {}로 표시할 수 있습니다. 4번의 경우 임의의 고등학교를 상정했지만 특정 고등학교의 특정 학년과 반을 지목하였기에 구체적인 조건이 제시되어 집합이라 할 수 있습니다. 5번의 경우 4보다 큰 자연수는 무한히 많은데요. 이는 원소의 갯수가 무한히 많은 집합입니다. 이 또한 집합이라 할 수 있습니다. 

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결론은 다음과 같습니다. 집합은 어떠한 조건에 의하여 결정되는 요소의 모임이며 집합 내 그 요소는 원소라 합니다. 그리고 집합 내 한 원소는 유일합니다. 다음 시간에는 집합의 표기법과 집합에 사용되는 기호에 대하여 살펴보겠습니다.