집합의 표기법: 여러가지 표기법과 집합에 사용되는 기호에 대하여

지난 시간에는 집합의 정의에 대하여 살펴보았는데요. 이번 시간에는 집합의 표기법을 알아보겠습니다. 집합의 표기법을 알아보기에 앞서 잠시 복습을 하겠습니다. 집합은 어떤 조건에 따라 결정되는 요소의 모임입니다. 그리고 그 요소를 집합의 원소라 합니다. 집합은 다음 두 가지가 가능해야 합니다. 첫번째로 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지, 들어 있지 않은지를 식별할 수 있어야 하고, 두번째로 집합에 속하는 두 원소가 서로 같은지, 같지 않은지를 식별할 수 있어야 합니다. 이 두 가지 조건 때문에 집합은 누구나 같은 값을 상정할 수 있는 명확한 조건이 주어져야 하고, 그에 따른 원소는 한 집합에서 유일해야 함을 할 수 있습니다. 이번 시간에 살펴볼 집합의 표기법은 그리 어렵지 않은데요. 예시를 통하여 살펴보신다면 금방 이해할 수 있습니다.

 

{1, 2, 3, 4}라는 집합이 있다고 가정해 봅시다. 이를 다른 방식으로 어떻게 표현할 수 있을까요? {x|x는 4 이하의 자연수} 또는 {x|x≤4, x는 자연수} 같은 식으로 쓸 수 있습니다. '{}' 같은 대괄호 안에 들어 있는 것이 집합의 원소인데요. 위 두 가지 표기법은 x라는 임의의 원소에 수학적인 조건을 제시하여 누구나 똑같은 집합의 원소를 생각할 수 있도록 한 것입니다. 왜 {1, 2, 3, 4} 같은 간단한 표기법(나열법)이 있는데 이런 어려운 방법을 써야할까요? 그 이유는 나열법으로는 표기하기 힘든 케이스가 많기 때문입니다. 이 경우에는 조건으로 쓰는게 훨씬 간편하고 잘못 이해될 확률도 없어지기 때문이죠.

 

예를 들어 {5, 7, 11, 13 ...}과 같은 집합이 있다고 합시다. 3보다 큰 소수들의 집합을 나열법으로 나타낸 것인데요. 이는 {x|x는 3보다 큰 소수} 같은 식으로 표현할 수 있습니다. 나열법으로 쓸 때는 소수들의 모임인지 뭔지 설명이 없다면 바로 알아먹지 못할 수도 있지만 조건법으로 쓰면 매우 간단하게 파악할 수 있습니다. 누가 봐도 명확하고 짧게 나타낼 수 있다는 장점이 있죠.

 

{x|x는 3보다 작은 무리수} 또는 {x|x<3 x는 무리수}와 같은 집합은 나열법으로 표현할 수도 없습니다. 무리수는 무한히 많고 셀 수 없기 때문에(셀 수 없다는 표현은 자연수와 1대1 대응을 만들 수 없다는 뜻과 같은데요, 이 부분은 추후에 다루도록 하겠습니다) 각 원소를 쓸 수 없습니다. 이처럼 얼핏 복잡해 보였던 조건법이 오히려 표기를 간략하게 만든다는 것을 알 수 있습니다.

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'a라는 원소가 A라는 집합에 속한다'라고 표기할 때 이를 기호로 나타내면 'a∈A'로 표현할 수 있습니다. 그리고 'A 집합이 B 집합에 속한다'라고 표기할 때 이를 기호로 나타내면 'A⊂B'로 표현할 수 있습니다. 'A⊂B'는 'A가 B의 부분집합'이라는 뜻입니다. A가 B의 부분집합이 되면 A에 속하는 모든 원소가 B에도 속한다는 것입니다. A⊂B이며 B⊂A인 경우를 상등이라 하고 이를 'A=B'로 표현합니다. A⊂B이며 A≠B인 경우에 A가 B의 진부분집합이라 표현합니다. 부분집합과 진부분집합 개념은 문제에서 조건으로 주어지는 범위와도 밀접한 관계가 있으므로 잘 알아두시는 것이 좋습니다. 다음 시간에는 이번 시간에 다루지 못한 집합 기호들에 대하여 추가적으로 알아보도록 하겠습니다.